正弦定理的证明正弦定理证明原理

正弦定理证明原理

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB=c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

正弦定理公式推导

因为三角形ABC的面积 :

S=absinC/2=acsinB/2=bcsinA,

所以有正弦定理 :在三角形ABC中，

sinC/c=sinB/b=sinA/a

三角函数正弦定理公式推导

在三角形中，各边与它所对的角的正弦的比相等；此结论叫做正弦定理

作三角形的外接圆O

连接AO交圆于D点,那么AD是圆的直径

弧AB对应圆周角为ACB和ADB

所以∠ACB＝∠ADB

AB = c

Ad 为直径,所以ABD为直角,根据正弦的定义得

c / 2R = sin∠ADB

所以c/sinC = 2R

同理可以得到a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

勾股定理正弦公式推导过程

证明：由正弦定理

a／sinA＝b／sinB＝c／sinC＝d，d为△ABC直径外接圆直径。

∴a＝d sinA，b＝d sinB，c＝d sinC

∴a＾2＋b＾2＝d＾2（sinA＾2＋sinB＾2）

又 A＋B＝兀／2

∴sinA＾2＋sinB＾2＝1

而 c＾2＝d＾2xsinC＾2＝d＾2

（sinc＝1，C＝兀／2）

∴a＾2＋b＾2＝C＾2

证毕

用向量积证明正弦定理的方法和过程

正弦定理可以表达为：在任意三角形ABC中，有：

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

其中，a、b、c分别为三角形ABC的三边，R为三角形ABC外接圆的半径。

现在我们可以使用向量积来证明这个定理。

首先，将三角形ABC的三顶点A、B、C表示为向量：

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AB}$

这样，三角形ABC的三边就可以表示为：

a=BC=|$\overrightarrow{a}$|

b=AC=|$\overrightarrow{b}$|

c=AB=|$\overrightarrow{c}$|

下一步，我们定义一个单位向量$\hat{n}$，使得向量$\overrightarrow{a}$的方向与它相同，也即：

$\hat{n}=\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$

这样，我们就可以将向量$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$分解为它们在$\hat{n}$方向和$\hat{n}$垂直方向的分量了：

$\overrightarrow{b}=b_{\parallel}\hat{n}+\overrightarrow{b_{\perp}}$

$\overrightarrow{c}=c_{\parallel}\hat{n}+\overrightarrow{c_{\perp}}$

其中，$b_{\parallel}$和$c_{\parallel}$分别表示向量$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$在$\hat{n}$方向上的投影，而$\overrightarrow{b_{\perp}}$和$\overrightarrow{c_{\perp}}$则表示它们在$\hat{n}$垂直方向上的分量。

接下来，我们计算向量积$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$的模长：

$|\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{b_{\perp}}\times\overrightarrow{c_{\perp}}|$

这是因为向量$\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$在$\hat{n}$方向上的分量为0，而它在$\hat{n}$垂直方向上的分量等于向量$\overrightarrow{b_{\perp}}\times\overrightarrow{c_{\perp}}$在$\hat{n}$方向上的分量。

进一步计算可得：

$|\overrightarrow{b_{\perp}}\times\overrightarrow{c_{\perp}}|=|\overrightarrow{b_{\perp}}|\cdot|\overrightarrow{c_{\perp}}|\cdot\sin\angle(\overrightarrow{b_{\perp}},\overrightarrow{c_{\perp}})|$

由于$\overrightarrow{b_{\perp}}$和$\overrightarrow{c_{\perp}}$都在平面ABC内，所以它们与$\overrightarrow{a}$相互垂直，也即$\angle(\overrightarrow{b_{\perp}},\overrightarrow{c_{\perp}})=\angle BAC$。

再次利用向量积的定义可得：

$|\overrightarrow{b_{\perp}}|\cdot|\overrightarrow{c_{\perp}}|\cdot\sin\angle BAC=|\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}|$

将$b_{\parallel}$和$c_{\parallel}$的值代入b和c的公式中可得：

$b=b_{\parallel}+\sqrt{b^2-b_{\parallel}^2}$

$c=c_{\parallel}+\sqrt{c^2-c_{\parallel}^2}$

利用余弦定理可得：

$\cos A=\dfrac{b_{\parallel}}{b}$

$\cos A=\dfrac{c_{\parallel}}{c}$

将上述内容代入三边比的公式中可得：

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{